Swedish GNW officers grenadier cap (trophy from Russian State Historical Museum).

Officer's grenadier cap, Kunglig Majestats
Svenska Livregemente till Fot
Офицерская гренадерская шапка,
Германский лейб-полк
(ГИМ)

This grenadier cap is from Russian state Historical Museum (Moscow) collection. It’s made of satin & velvet, with gold & silver laces. So, evidently it belonged to an officer, not NCO or private. Swedish CoA clearly states that it belonged to the one of the Swedish regiments. Caps fashion is early 1700s (1700-1710s), so it’s GNW ages. The cap’s front is decorated with motto «LA DERNIERE RAISON DES PRINCES», the back - «GRENADIERS DE LIVE».

There were 5 Leib (Livregemente) regiments in the Swedish army during the GNW: Kings Leib Guard (Kunglig Majestäts Livgardet till fot), Kings Own Swedish regiment (Kunglig Majestäts Svenska Livregemente), Kings Own German regiment (Kunglig Majestäts Tyska Livregemente), King Mothers Own (Riksänkedrottningens Livregemente), Queens Own (Drottningens Livregemente). Livgardet’s grenadiers didn’t have grenadier caps. Riksankedrottingen’s grenadier caps were decorated with Queen Mother’s monogram (HERS). The grenadier caps of other Liv-regiments are not described in the survived regimental papers (see Hoglund & Sallinas The Great Northern War 1700 – 1721. Colours and Uniforms. Vol. 1). Queens Own had gold & blue lace, Swedish Own – silver lace, German Own – blue, gold & silver. The cap is in white-blue-gold colors, so it’s attributed as German Own regiment. During the GNW the regiment stayed in Sweden, then transferred to Pomerania. Evidently the cap was lost there.
See also Sergey Shamenkov's material about Swedish grenadiers in GNW (in Russian). Sergey's drawing is taken from this material. 

Grenadjarlojtnant of the Tyska Livregemente till Fot
Лейтенант-гренадер Германского Лейб-полка
Drawing by Sergey Shamenkov

Шведская гренадерская шапка ВСВ из ГИМа.

Данная гренадерская шапка находится в коллекции ГИМ, и была опубликована в каталоге выставки, посвященной 300-летию Полтавской битвы. Дорогие материалы (атлах, бархат, золотые и серебрянные нити и позументы) указывает на то, что это офицерская шапка. Герб однозначно указывает на Швецию, а покрой шапки – на период Великой Северной войны (1700-1710е гг.).

Передняя часть шапки украшена девизом «LA DERNIERE RAISON DES PRINCES» («Последний довод королей»), задняя - «GRENADIERS DE LIVE» («личные/собственные гренадеры»). В шведской армии в период ВСВ было 5 Лейб-полков: Лейб-гвардии (Kunglig Majestäts Livgardet till fot), Королевский Шведский (Kunglig Majestäts Svenska Livregemente), Королевский Германский (Kunglig Majestäts Tyska Livregemente), Вдовствующей королевы (Riksänkedrottningens Livregemente), Королевы (Drottningens Livregemente). Гренадеры Лейб-гвардии гренадерских шапок не имели. Гренадерские шапки полка Вдовствующей королевы были украшены ее монограммой «HERS». Про гренадерские шапки 3 остальных полков ничего не известно. При этом полк Королевы имел золотой и синий позумент, Шведский – серебряный, Германский – синий, золотой и серебряный. По цветам шапка подходит под позумент Германского Лейб-полка. В годы ВСВ полк сначала находился в Швеции, затем переведен в померанские гарнизоны, где, видимо, шапка и попала к русским.
См также: Шаменков С. Гренадеры шведской армии Карла XII: обмундирование, снаряжение и вооружение (ссылка). Авторский рисунок, использованный мною в посте, взят из этой статьи.

P.S. В качестве «исторического анекдота»: данная шапка долгие годы числилась в ГИМе как «шапка епископа».